题目内容
3.已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx=的单调递减区间为(-$\frac{1}{3}$,1),(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥k2+7k在区间[-2,2]上恒成立,求实数k的取值范围.
分析 (1)先求出函数的导数,将-$\frac{1}{3}$,1代入f′(x)=0,得到方程组,解出a,b的值即可;
(2)先求出函数f(x)的单调区间,问题转化为k2+7k≤-10,解出即可.
解答 解:(1)∵f′(x)=3x2-6ax+2b,
令f′(x)=0,则-$\frac{1}{3}$,1是方程f′(x)=0的两个根,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}+2a+2b=0}\\{3-6a+2b=0}\end{array}\right.$
解得:a=$\frac{1}{3}$,b=-$\frac{1}{2}$;
(2)由(1)得:f(x)=x3-x2-x,
且f(x)在[-2,-$\frac{1}{3}$),(1,2]递增,在(-$\frac{1}{3}$,1)递减,
又f(-2)=-10,f(1)=-1,
若不等式f(x)≥k2+7k在区间[-2,2]上恒成立,
只需k2+7k≤-10即可,
解得:-5≤k≤-2.
点评 本题考察了函数的单调性,函数的极值问题,导数的应用,是一道综合题.
练习册系列答案
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A. | (-∞,1) | B. | (-∞,1] | C. | (-∞,-1) | D. | (-∞,-1] |