Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

【答案】解：（I）令f'（x）=lnx+1=0，得 ． ①当 时，函数f（x）在 上单调递减，在 上单调递增，
此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为 ；
②当 时，函数f（x）在区间[t，t+2]上单调递增，此时函数f（x）在区间[t，t+2]上的最小值为f（t）=tlnt；
（II）由题意得，f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一个根，
即 在（0，+∞）上有且只有一个根．令 ，
则 ，
易知g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以hmin（x）=h（1）=3，
由题意可知，若使y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=hmin（x）=3．
【解析】（I）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（II）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可