题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)设函数 ,若对任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0)的图象是开口朝上,且以直线x= 为对称轴的抛物线,
若f(x)在区间[1,2]为单调增函数
则 ,
解得:
(2)解:①当0< <1,即a>
时,f(x)在区间[1,2]上为增函数,
此时g(a)=f(1)=3a﹣2
②当1≤ ≤2,即
时,f(x)在区间[1,
]是减函数,在区间[
,2]上为增函数,
此时g(a)=f( )=
)
③当 >2,即0<a<
时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
此时g(a)=f(2)=6a﹣3
综上所述:
(3)解:对任意x1,x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,
即f(x)min≥h(x)max,
由(2)知,f(x)min=g(a)
又因为函数 ,
所以函数h(x)在[1,2]上为单调减函数,所以 ,
①当 时,由g(a)≥h(x)max得:
,解得
,(舍去)
②当 时,由g(a)≥h(x)max得:
,即8a2﹣2a﹣1≥0,
∴(4a+1)(2a﹣1)≥0,解得
所以
③当 时,由g(a)≥h(x)max得:
,解得
,
所以a
综上所述:实数a的取值范围为
【解析】(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,则根据题意a>0,只需二次函数的对称轴在区间的左侧即可,列出不等式可解得a的取值范围,(2)分类讨论给定区间与对称轴的关系,分析出各种情况下g(x)的表达式,综合讨论结果,可得答案,(3)不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,
即f(x)min≥h(x)max,分类讨论各种情况下实数a的取值,综合讨论结果,可得答案.
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义和二次函数的性质,需要了解利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
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【题目】已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+ )+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(Ⅰ)求a和ω的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
【题目】某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査,右表是在某单位得到的数据(人数):
赞同 | 反对 | 合计 | |
男 | 5 | 6 | 11 |
女 | 11 | 3 | 14 |
合计 | 16 | 9 | 25 |
附表:
P(K2≥K) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
(1 )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?
【答案】解:解:K2= ≈2.932>2.706,
由此可知,有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关
(1)进一步调查:(ⅰ)从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言,求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率; (ⅱ)从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈,设参加调査的女士人数为X,求X的分布列和期望.