Question

5．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AB的中点，D是CC₁上一点．
（I）求证：A₁B₁∥平面DAB；
（Ⅱ）求证：A₁B₁⊥DE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AB∥A₁B₁，由此能证明A₁B₁∥平面DAB．
（Ⅱ）由已知得CE⊥AB，DE⊥AB，由此能证明A₁B₁⊥平面DCE，从而得到A₁B₁⊥DE．

解答 （Ⅰ）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AB∥A₁B₁，AB?平面ABD，A₁B₁?平面ABD，
∴A₁B₁∥平面DAB．
（Ⅱ）证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AC=BC，E是AB中点，∴CE⊥AB，
在△ADC和△BDC中，
∵AC=BC，DC=DC，∠DCA=∠DCB，
∴△ADC≌△BDC，∴AD=BD，
∴DE⊥AB，
∵DE∩CE=E，
∴AB⊥平面DCE，
∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥平面DCE，
∵DE?平面DCE，∴A₁B₁⊥DE．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．