Question

10．已知点M（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），F（$\sqrt{5}$，0）．且P为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上动点．当||MP|-|FP||取最大值时P的坐标为（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

Answer 1

分析 根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T₁在线段MF外，T₂在线段MF内，根据图形可知||MT₁|-|FT₁||=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T₂重合时||MT₂|-|FT₂||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|-|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T₁重合时，||MP|-|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T₁的坐标．

解答 解：过点M，F的直线l的方程为y=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}-0}{\frac{3\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}}$（x-$\sqrt{5}$），
即y=-2（x-$\sqrt{5}$），代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，解得：x₁=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，x₂=$\frac{14\sqrt{5}}{15}$，
故直线l与双曲线L的交点为T₁（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），T₂（$\frac{14\sqrt{5}}{15}$，$\frac{2\sqrt{5}}{15}$），
因此T₁在线段MF外，T₂在线段MF内，故||MT₁|-|FT₁||=|MF|=2，
||MT₂|-|FT₂||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|-|FP|＜|MF|=2，
综上所述，|MP|-|FP|只在点T₁处取得最大值2，此时点P的坐标为（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
故答案为：（$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

点评 此题考查双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．