Question

17．如图所示，正三棱锥S-ABC中，D，E，F分别是棱SA，SB，SC上的点，且SD=a，平面DEF∥底面ABC，且三棱台DEF-ABC与三棱锥S-ABC的所有棱长之和相等，则三棱锥S-DEF的外接球的表面积为$\frac{3π}{2}$a²．

Answer 1

分析 根据题意，三棱锥S-DEF是棱长为a的正四面体，求出正四面体S-DEF外接球的半径R，即可它的外接球表面积．

解答 解：根据题意，三棱锥S-DEF是棱长为a的正四面体，
设正四面体S-DEF的外接球球心为O，半径为R，
且SO的延长线与底面DEF交于点P，
则SP为正四面体S-DEF的高，SP⊥底面DEF，
且SO=R，OP=r，OP是正四面体S-DEF内切球的半径，如图所示：

设正四面体S-DEF的底面面积为S₀．
将球心O与四面体的4个顶点SDEF连接，
得到4个全等的小正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面，
每个小正三棱锥的体积为V₁=$\frac{1}{3}$S₀•r；
而正四面体S-DEF体积为V₂=$\frac{1}{3}$S₀•（R+r），
所以4•V₁=V₂；
即4•$\frac{1}{3}$S₀•r=$\frac{1}{3}$S₀•（R+r），
化简得R=3r，
因为棱长为a，所以DP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
所以SP=$\sqrt{{a}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
所以R=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
所以正四面体外接球的表面积为
4π•${（\frac{\sqrt{6}}{4}a）}^{2}$=$\frac{3π}{2}$a²．
故答案为：$\frac{3π}{2}$a²．

点评 本题考查了求正四面体外接球的表面积的应用问题，也考查了转化思想的应用问题与空间想象能力和计算能力的应用问题，是综合性题目．