Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3cosα，1），$\overrightarrow{b}$=（-2，3sinα），且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，其中$α∈（0，\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）求sinα和cosα的值；
（Ⅱ）若5sin（α-β）=3$\sqrt{5}$cosβ，β∈（0，π），求β的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量垂直得到数量积为0，得到关于α三角函数等式；
（Ⅱ）由已知条件展开得到tanβ=-1，根据角的范围取角．

解答 （Ⅰ）解：由向量$\overrightarrow{a}$=（3cosα，1），$\overrightarrow{b}$=（-2，3sinα），且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，其中$α∈（0，\frac{π}{2}）$．
得-6cosα+3sinα=0…（2分）
解得tanα=2…（3分）
所以sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$α=\frac{\sqrt{5}}{5}$…（5分）
（Ⅱ）解：因为5sin（α-β）=3$\sqrt{5}$cosβ，β∈（0，π），展开得cosβ=-sinβ即tanβ=-1…（7分）
所以β=$\frac{3π}{4}$…（8分）

点评 本题考查了平面向量垂直，数量积等于0；以及三角函数的恒等变形；注意角的范围．