题目内容

13.已知向量$\overrightarrow{a}$=(3cosα,1),$\overrightarrow{b}$=(-2,3sinα),且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$,其中$α∈(0,\frac{π}{2})$.
(Ⅰ)求sinα和cosα的值;
(Ⅱ)若5sin(α-β)=3$\sqrt{5}$cosβ,β∈(0,π),求β的值.

分析 (Ⅰ)由向量垂直得到数量积为0,得到关于α三角函数等式;
(Ⅱ)由已知条件展开得到tanβ=-1,根据角的范围取角.

解答 (Ⅰ)解:由向量$\overrightarrow{a}$=(3cosα,1),$\overrightarrow{b}$=(-2,3sinα),且$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$,其中$α∈(0,\frac{π}{2})$.
得-6cosα+3sinα=0…(2分)
解得tanα=2…(3分)
所以sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,cos$α=\frac{\sqrt{5}}{5}$…(5分)
(Ⅱ)解:因为5sin(α-β)=3$\sqrt{5}$cosβ,β∈(0,π),展开得cosβ=-sinβ即tanβ=-1…(7分)
所以β=$\frac{3π}{4}$…(8分)

点评 本题考查了平面向量垂直,数量积等于0;以及三角函数的恒等变形;注意角的范围.

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