题目内容

5.已知变量x,y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤m}\\{y≥-1}\end{array}\right.$,若z=y-x的最小值为-3,则z=y-x的最大值为$\frac{1}{3}$.

分析 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,先求出m的值,然后通过平移即可求z的最大值.

解答 解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由z=y-x得y=x+z,
平移直线y=x+z,
由图象可知当直线y=x+z经过点C时,直线y=x+z的截距最小,
此时z最小,为-3,即z=y-x=-3,
由$\left\{\begin{array}{l}{y-x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$,即C(2,-1),
C也在直线x+y=m上,∴m=2-1=1,
即直线方程为x+y=1,
当直线y=x+z经过点B时,直线y=x+z的截距最大,
此时z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$,即B($\frac{1}{3}$,$\frac{2}{3}$),
此时z=y-x=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$,
故答案为:$\frac{1}{3}$.

点评 本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.

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