题目内容
2.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的两条渐近线都与圆(x-c)2+y2=ac(c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$相切,则双曲线的离心率为( )A. | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | C. | 2 | D. | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ |
分析 双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1( a>0,b>0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac相切,可得圆心(c,0)到渐近线的距离d=r,利用点到直线的距离公式即可得出.
解答 解:取双曲线的渐近线y=$\frac{b}{a}$x,即bx-ay=0.
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1( a>0,b>0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac相切,
∴圆心(c,0)到渐近线的距离d=r,
∴$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{ac}$,化为b2=ac,
两边平方得ac=c2-a2,化为e2-e-1=0.
∵e>1,
∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
故选D.
点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
17.已知复数z=$\frac{2}{-1+i}$,则下列判断正确的是( )
A. | z的实部为1 | B. | |z|=$\sqrt{2}$ | ||
C. | z的虚部为-i | D. | z的共轭复数为1+i |