题目内容
3.如图,已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=OC=4,OB=3.(1)求O点到平面ABC的距离;
(2)设A1、B1、C1依次为线段OA,OB,OC内的点,证明:△A1B1C1是锐角三角形.
分析 (1)利用等体积法,即可求O点到平面ABC的距离;
(2)可以通过余弦定理解决.
解答 (1)解:由题意,AC=4$\sqrt{2}$,AB=BC=5,所以S△ABC=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{17}$=2$\sqrt{34}$,
设O点到平面ABC的距离为h,则$\frac{1}{3}×2\sqrt{34}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×3$,
所以h=$\frac{6\sqrt{34}}{17}$;
(2)证明:设OA1=a;OB1=b;OC1=c,则A1B12=a2+b2,同理B1C12=c2+b2,A1C12=a2+c2,
在三角形A1B1C1中,由余弦定理得:cosA=$\frac{{2a}^{2}}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}•\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$>0,
同理可证cosB>0,cosC>0,所以,△A1B1C1是锐角三角形.
点评 本题考查体积公式的运用,考查余弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=2$\sqrt{3}$,A=$\frac{π}{6}$,则△ABC的面积为( )
A. | $2\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$ | B. | $2\sqrt{3}$ | C. | $2\sqrt{3}$或$4\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{3}$ |