题目内容
【题目】在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,腰长为2,D、E分别是边AB、BC的中点,将△BDE沿DE翻折,得到四棱锥B﹣ADEC,且F为棱BC中点,BA.
(1)求证:EF⊥平面BAC;
(2)在线段AD上是否存在一点Q,使得AF∥平面BEQ?若存在,求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,
【解析】
(1)取中点
,连结
、
,在等腰
中,由已知可得
,则
,由线面垂直的判定可得
平面
,进一步得到
平面
,则
,可得
平面
,然后证明
是平行四边形,得
,从而得到
平面
;(2)以
为原点建立如图所示空间直角坐标系
.求出
,
,
,
,
的坐标,设
,
,
,求出平面
的法向量
,由
求得
,即线段
上存在一点
,使得
平面
,再求出平面
的法向量为
,由两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
(1)证明:取中点
,连结
、
,在等腰
中,
,
,
、
分别是边
、
的中点,
,
又翻折后
,
翻折后
,且
为等腰直角三角形,则
,
翻折后
,
,且
,
平面
,
,
平面
,则
,
又,
平面
,
又,
,且
,
是平行四边形,则
,
平面
;
(2)以为原点建立如图所示空间直角坐标系
.则
,1,
,
,0,
,
,0,
,
,1,
,
,设
,
,
,
则,
设平面的法向量为
,
,
,则由
,取
,则
,1,
,
要使平面
,则须
,
,即线段
上存在一点
,使得
平面
,
设平面的法向量为
,
,
,则由
,取
,则
,1,
,
,
二面角
为锐二面角,
其余弦值为
,
即线段上存在一点
(点
是线段
上的靠近点
的一个三等分点),
使得平面
,此时二面角
的余弦值为
.
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