题目内容
【题目】已知常数,数列
的前
项和为
,
,
;
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且
是单调递增数列,求实数
的取值范围;
(3)若,
,对于任意给定的正整数
,是否存在正整数
、
,使得
?若存在,求出
、
的值(只要写出一组即可);若不存在,请说明理由;
【答案】(1) (2)
(3)
,
(或
,
;…)
【解析】试题分析:(1)将条件中分式变成整式得
,把
换成
得
,两式相减化简可得
,化简得
,根据等差数列定义可知数列
为等差数列,由等差数列通项公式写出公式即可。(2)由(1)可得
,因为数列
是单调递增数列,所以
,
,化简得
,因为
的正负与
是奇数、偶数有关,故分两种情况讨论。当
是奇数时,
可变为
恒成立,构造函数求不等式右边的最大值,令
,用函数单调性定义可证明单调性为减函数,所以
;当
是偶数时,
可变为
恒成立,构造函数求不等式右边的最小值,令
,利用函数单调性定义证明函数为增函数,所以
。可得所求范围。(3)由(1)及
可求出
,所以
。假设对任意
,总存在正整数
,使
,可得关于
的关系式
整理可得
,给出
的值,可求出
的值。
试题解析:解:(1)
∴是以
为首项,
为公差的等差数列,∴
(2) ,即
若为奇数,则
恒成立,
考察,
即,∴
;
若为偶数,则
恒成立,
考察,
即,∴
;综上所述,
;
(3)由(1) .假设对任意
,总存在正整数
,使
,
则
令,则
(或
,则
;…)
∴ (或
;…)
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