题目内容
5.证明函数f(x)=$\frac{2-x}{x+2}$在(-2,+∞)上是减函数.分析 先分离常数,将原函数变成f(x)=-1+$\frac{4}{x+2}$,然后根据单调性的定义,设x1>x2>-2,然后作差证明f(x1)<f(x2)即可.
解答 证明:f(x)=$\frac{2-x}{x+2}=\frac{-(x+2)+4}{x+2}=-1+\frac{4}{x+2}$;
设x1>x2>-2,则:
$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{4}{{x}_{1}+2}-\frac{4}{{x}_{2}+2}$=$\frac{4({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{1}+2)({x}_{2}+2)}$;
∵x1>x2>-2;
∴x2-x1<0,x1+2>0,x2+2>0;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(-2,+∞)上是减函数.
点评 考查函数单调性的定义,根据减函数定义证明一个函数为减函数的方法和过程,作差比较f(x1),f(x2)的方法,分离常数法的运用.
练习册系列答案
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A. | 1+2sin(A+$\frac{π}{6}$) | B. | 1+2sin(A+$\frac{π}{3}$) | C. | 1+sin(A+$\frac{π}{6}$) | D. | 1+sin(A+$\frac{π}{3}$) |