Question

14．已知函数f（x）=x²，对任意实数t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函数y=g₀（x）-f（x）的奇偶性；
（2）h（x）=$\frac{x}{f（x）}$-gt（x）在（0，2]上是单调递减的，求实数t的取值范围；
（3）若f（x）＜mg₂（x）对任意x∈（0，$\frac{1}{3}$]恒成立，求正数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）由已知得，$h（x）=\frac{x}{f（x）}-{g_t}（x）=\frac{1}{x}+tx-1$，利用单调性的定义，可知要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，从而只需1-tx₁x₂＞0恒成立，即$t＜\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$恒成立，故可求实数t的取值范围；
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），分离参数可得$\frac{1}{m}＜\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$，从而问题转化为$\frac{1}{m}＜{（{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}）_{min}}$，$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$，利用配方法可求函数$y=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$的最小值3，故可求正数m的取值范围；
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0．构造f（x）=x²+2mx-m，则f（x）＜0对任意$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}f（0）≤0\\ f（{\frac{1}{3}}）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-m≤0\\ \frac{1}{9}+\frac{2}{3}m-m＜0\end{array}\right.$，从而可求正数m的取值范围．

解答 解：（1）y=h（x）=g₀（x）-f（x）=1-x²，…（1分），
则h（-x）=1-x²=h（x），
则函数函数y=g₀（x）-f（x）的是偶函数性；…（3分）
（2）由已知得，$h（x）=\frac{x}{f（x）}-{g_t}（x）=\frac{1}{x}+tx-1$，…（4分）
设0＜x₁＜x₂≤2，
则$h（{x_1}）-h（{x_2}）=（{\frac{1}{x_1}+t{x_1}-1}）-（{\frac{1}{x_2}+t{x_2}-1}）$=$\frac{{（{{x_2}-{x_1}}）（{1-t{x_1}{x_2}}）}}{{{x_1}{x_2}}}$…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是单调递减的，必须h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立．   …（7分）
因为x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜4，
所以1-tx₁x₂＞0恒成立，即$t＜\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}$恒成立，…（8分）[
因为$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞\frac{1}{4}$，所以$t≤\frac{1}{4}$，
所以实数t的取值范围是$（{-∞，\frac{1}{4}}]$．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），①…（10分）
因为m＞0且$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$，所以①式可化为$\frac{1}{m}＜\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$，②…（11分）
要使②式对任意$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$恒成立，只需$\frac{1}{m}＜{（{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}）_{min}}$，$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$（12分）
因为$\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}={（{\frac{1}{x}-1}）^2}-1$，
所以当$x=\frac{1}{3}$时，函数$y=\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}$取得最小值3，…（12分）
所以$\frac{1}{m}＜3$，又m＞0，所以$m＞\frac{1}{3}$，
故正数m的取值范围是$（{\frac{1}{3}，+∞}）$．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x²+2mx-m，则f（x）＜0对任意$x∈（{0，\frac{1}{3}}]$恒成立，…（11分）
只需$\left\{\begin{array}{l}f（0）≤0\\ f（{\frac{1}{3}}）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-m≤0\\ \frac{1}{9}+\frac{2}{3}m-m＜0\end{array}\right.$，解得$m＞\frac{1}{3}$，…（12分）
故正数m的取值范围是$（{\frac{1}{3}，+∞}）$．                             …（13分）

点评 本题考查的重点是求参数的范围问题，考查恒成立问题，考查函数的单调区间，解题的关键是利用分离参数法，进而求函数的最值．