Question

13．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若AB=1，则△ABC的周长为（　　）

• A． 1+2sin（A+$\frac{π}{6}$）
• B． 1+2sin（A+$\frac{π}{3}$）
• C． 1+sin（A+$\frac{π}{6}$）
• D． 1+sin（A+$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 由已知数据和三角形的知识以及三角函数公式可得C=$\frac{π}{3}$，由正弦定理表示各边，可得三角形的周长．

解答 解：∵在△ABC中tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，
由三角形的内角和可得$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，
∴cot$\frac{C}{2}$=2sinC，∴$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=4sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$，
∵0＜$\frac{C}{2}$＜$\frac{π}{2}$，∴cos$\frac{C}{2}$＞0，sin$\frac{C}{2}$＞0，
∴sin²$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，∴sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的周长y=AB+BC+CA=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=1+2sin（A+$\frac{π}{6}$），
故选：A．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及正弦定理和三角函数公式，属中档题．