Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），则$\frac{{a}_{n}}{n}$取最小值时n=8．

Answer 1

分析 通过a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），利用累加法可知a_n=a₁+$\frac{n（n-1）}{2}$，进而可知$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n$+$\frac{33}{n}$-$\frac{1}{2}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n=n（n∈N⁺），
∴a_n-a_n-1=n-1，
a_n-1-a_n-2=n-2，
…
a₂-a₁=1，
累加得：a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
又∵a₁=33，
∴a_n=a₁+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²$-\frac{1}{2}$n+33，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n$+$\frac{33}{n}$-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}n$+$\frac{33}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}n•\frac{33}{n}}$=$\sqrt{66}$（＞8），当且仅当$\frac{1}{2}n$=$\frac{33}{n}$时取等号，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$取最小值时n=8，
故答案为：8．

点评 本题考查数列的通项，涉及基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．