Question

9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，它的周期是π，则（　　）

• A． f（x）的图象过点（0，$\frac{1}{2}$）
• B． f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
• C． f（x）的一条对称轴方程为x=-$\frac{π}{12}$
• D． f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$

Answer 1

分析 由函数的周期是π，求得ω的值，再根据它的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，求得φ，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．

解答 解：由于函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的周期是π，
可得$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2．
再根据它的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，可得2×$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，故φ=$\frac{π}{6}$，
故有 函数f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2x+$\frac{π}{6}$=nπ，n∈Z，求得x=$\frac{nπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，故它的图象的对称中心为（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），
故f（x）的图象的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题．