Question

7．某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{150}{x-6}+a{（x-9）^2}，6＜x＜9\\ \frac{177}{x-6}-x，\;9≤x≤15\end{array}\right.$，其中a为常数．已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将x=8、y=80代入分段函数对应的那一段，计算即得结论；
（Ⅱ）通过利润=（售价-成本）×数量，对售价x分6＜x＜9、9≤x≤15两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）∵销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg，
∴$80=\frac{150}{8-6}+a{（8-9）^2}$，
解得a=5；
（Ⅱ）当商品成本为6元/kg时，结合（I）可知商品销售利润为：
$（x-6）y=\left\{\begin{array}{l}（x-6）[{\frac{150}{x-6}+5{{（x-9）}^2}}]，6＜x＜9\\（x-6）（\frac{177}{x-6}-x），\;9≤x≤15\end{array}\right.$，
①当6＜x＜9时，利润${y_1}=150+5（x-6）{（x-9）^2}$，
∵${y_1}^′=5[（x-6）{（x-9）^2}]'$=5[（x-6）（x²-18x+81）]'=15（x-7）（x-9），
∴y₁在区间（6，7）上单调递增，在区间（7，9）上单调递减，
∴当x=7时利润最大，最大值为170元；
②当9≤x≤15时，利润${y_2}=177-x（x-6）=-{x^2}+6x+177$，
而y₂是开口向下的二次函数，其对称轴是x=3，
∴y₂在区间（9，15）上单调递减，
∴当x=9时利润最大，最大值为150元；
综上可知，当销售价格为7元/kg，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．