题目内容

已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=A
a2n
+Ban+C
,其中A、B、C是常数.
(1)若A=0,B=3,C=-2,求数列{an}的通项公式;
(2)若A=1,B=
1
2
C=
1
16
,且an>0,求数列{an}的前n项和Sn
(3)试探究A、B、C满足什么条件时,数列{an}是公比不为-1的等比数列.
(1)∵Sn=A
a2n
+Ban+C
,A=0,B=3,C=-2,
∴Sn=3an-2,
∴当n=1时,a1=3a1-2,解得a1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3an-3an-1
整理,得2an=3an-1
an
an-1
=
3
2

an=(
3
2
)n-1

(2)∵Sn=A
a2n
+Ban+C
,A=1,B=
1
2
,C=
1
16

Sn=
a2n
+
1
2
an+
1
16

∴当n=1时,a1=
a21
+
1
2
a1+
1
16
,解得a1=
1
4

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
a2n
-
a2n-1
+
1
2
an-
1
2
an-1

整理,得(an+an-1)(an-an-1-
1
2
)=0

∵an>0,∴an-an-1=
1
2

∴{an}是首项为
1
4
,公差为
1
2
的等差数列,
Sn=
n
4
+
n(n-1)
4
=
n2
4

(3)若数列{an}是公比为q的等比数列,
①当q=1时,an=a1,Sn=na1
Sn=A
a2n
+Ban+C
,得na1=A
a21
+Ba1+C
恒成立
∴a1=0,与数列{an}是等比数列矛盾;
②当q≠±1,q≠0时,an=a1qn-1Sn=
a1
q-1
qn-
a1
q-1

Sn=A
a2n
+Ban+C
恒成立,
a21
q2
×q2n+(B×
a1
q
-
a1
q-1
qn+C+
a1
q-1
=0
对于一切正整数n都成立
∴A=0,B=
q
q-1
≠1
1
2
或0,C≠0,
事实上,当A=0,B≠1或
1
2
或0,C≠0时,
Sn=Ban+Ca1=
C
1-B
≠0

n≥2时,an=Sn-Sn-1=Ban-Ban-1
an
an-1
=
B
B-1
≠0
或-1
∴数列{an}是以
C
1-B
为首项,以
B
B-1
为公比的等比数列.
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