已知|$\overrightarrow{a}$|=1.|$\overrightarrow{b}$|=2.$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°.$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$.$\overrightarrow{d}$=k$\overrighta 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知|

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ |=1，|

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ |=2，

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ 与

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ 的夹角为60°，

\vec{c}

$\overrightarrow{c}$ =2

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ +3

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ ，

\vec{d}

$\overrightarrow{d}$ =k

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ -

\vec{b}

$\overrightarrow{b}$ （k∈R）且

\vec{c}

$\overrightarrow{c}$ ⊥

\vec{d}

$\overrightarrow{d}$ ，求k的值．

分析由向量垂直可得两向量的数量积为0，代入数量积公式可求得k的值．

解答解：∵ $\overrightarrow{c}$ =2 $\overrightarrow{a}$ +3 $\overrightarrow{b}$ ， $\overrightarrow{d}$ =k $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ，且 $\overrightarrow{c}$ ⊥ $\overrightarrow{d}$ ，得
$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$ =（2 $\overrightarrow{a}$ +3 $\overrightarrow{b}$ ）•（k $\overrightarrow{a}$ - $\overrightarrow{b}$ ）= $2k|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（3k-2）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
= $2k|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（3k-2）|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos$ $＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$ $-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}$ =0．
又| $\overrightarrow{a}$ |=1，| $\overrightarrow{b}$ |=2， $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为60°，
∴2k+2（3k-2）cos60°-12=5k-14=0，
解得：k= $\frac{14}{5}$ ．