Question

20．已知命题p：?x∈（a，+∞），x+$\frac{9}{x-a}$≥7恒成立；命题q：函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，在[2，+∞）上单调递增．
（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；
（2）证明：命题p为真命题是命题q为真命题的充分不必要条件．

Answer 1

分析 （1）结合基本不等式的性质，求出命题p为真时的a的范围；
（2）先求出命题q为真时的a的范围，结合p的范围，从而证出结论．

解答 解：（1）命题p：?x∈（a，+∞），x+$\frac{9}{x-a}$≥7恒成立；
即x-a+$\frac{1}{x-a}$+a≥2+a≥7恒成立，
故a≥-5，当且仅当x=a+1时“=”成立，
故命题p是真命题时：a≥5；
（2）命题q：函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，在[2，+∞）上单调递增，
则f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$≥0在[2，+∞）单调递增，
∴2ax-1≥0在[2，+∞）单调递增，
∴a≥$\frac{1}{2x}$在[2，+∞）单调递增，
∴a≥${（\frac{1}{2x}）}_{max}$=$\frac{1}{4}$；
故若命题q是真命题，则a≥$\frac{1}{4}$；
结合（1）得：
命题p为真命题是命题q为真命题的充分不必要条件．

点评 本题考查了充分必要条件，考查考查函数恒成立问题，基本不等式的性质，是一道中档题．