题目内容

7.已知0<ai<1(i=1,2,3,4),求证:在四个数a1(1-a2),a2(1-a3),a3(1-a4),a4(1-a1)中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$.

分析 设四个数a1(1-a2),a2(1-a3),a3(1-a4),a4(1-a1)都大于$\frac{1}{4}$,则得a4(1-a1)<a1(1-a1)≤$\frac{1}{4}$[a1+(1-a1)]2=$\frac{1}{4}$,与a4(1-a1)>$\frac{1}{4}$矛盾,故假设不对.故要证的结论成立.

解答 证明:假设四个数a1(1-a2),a2(1-a3),a3(1-a4),a4(1-a1)都大于$\frac{1}{4}$.
由a1(1-a2)>$\frac{1}{4}$得a1、1-a2中至少一个大于$\frac{1}{2}$,
假设a1>$\frac{1}{2}$,由a4(1-a1)>$\frac{1}{4}$,而a1>$\frac{1}{2}$得a4>$\frac{1}{2}$,
同理a3>$\frac{1}{2}$,a2>$\frac{1}{2}$.
假设a1是a1,a2,a3,a4中最大的一个,则a4(1-a1)<a1(1-a1)≤$\frac{1}{4}$[a1+(1-a1)]2=$\frac{1}{4}$,与a4(1-a1)>$\frac{1}{4}$矛盾.
所以假设四个数a1(1-a2),a2(1-a3),a3(1-a4),a4(1-a1)都大于$\frac{1}{4}$不成立,
所以四个数a1(1-a2),a2(1-a3),a3(1-a4),a4(1-a1)中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$.

点评 本题主要考查用反证法证明数学命题,正确运用反证法的步骤是关键,属于中档题.

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