题目内容

在数列{an}中,an+1+an=2n-44(n∈N*),a1=-23.
(1)求an
(2)设Sn为{an}的前n项和,求Sn的最小值.
(1)
(2)-243
解:(1)∵an+1+an=2n-44,an+2+an+1=2(n+1)-44,
∴an+2-an=2.
∴a2+a1=-42,a1=-23,∴a2=-19.
同理得a3=-21,a4=-17,
故a1,a3,a5,…是以a1为首项、2为公差的等差数列,
a2,a4,a6,…是以a2为首项、2为公差的等差数列,
从而.
(2)当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=(2×1-44)+(2×3-44)+(2×5-44)+…+[2×(n-1)-44]=2[1+3+…+(n-1)]-·44=-22n,
故当n=22时,Sn取得最小值-242.
当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)=a1+(2×2-44)+(2×4-44)+…+[2×(n-1)-44]=a1+2[2+4+…+(n-1)]+·(-44)=-23+-22(n-1)=-22n-
故当n=21或n=23时,Sn取得最小值-243.
综上所述,Sn的最小值为-243.
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