Question

15．已知数列{a_n}，{b_n}满足下列条件：a_n=6•2^n-1-2，b₁=1，a_n=b_n+1-b_n
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）比较a_n与2b_n的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过b_n+1-b_n=6•2^n-1-2，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）计算即可；
（Ⅱ）通过计算可得2b_n-a_n=3•2ⁿ-4（n+1），记c_n=$\frac{3•{2}^{n}}{4（n+1）}$，利用$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1＞0可得数列{c_n}为递增数列，分n＞2、n=1、n=2三种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知，b_n+1-b_n=6•2^n-1-2，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（6×1-2）+（6×2-2）+…+（6×2^n-2-2）
=1+6（1+2+…+2^n-2）-2（n-1）
1+6•$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$-2（n-1）
=6•2^n-1-2n-3；
（Ⅱ）由题意可得2b_n-a_n=6•2^n-1-4（n+1）
=3•2ⁿ-4（n+1），
设c_n=$\frac{3•{2}^{n}}{4（n+1）}$，则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1=$\frac{\frac{3•{2}^{n+1}}{4（n+2）}}{\frac{3•{2}^{n}}{4（n+1）}}$-1=$\frac{2（n+1）}{n+2}$-1=$\frac{n}{n+2}$＞0，
∴c_n+1＞c_n，即数列{c_n}为递增数列，
当n＞2时，c_n＞c₂=1，∴3•2ⁿ＞4（n+1），
于是2b_n-a_n＞0，即a_n＜2b_n，
易知当n=1时，a_n＞2b_n，当n=2时a_n=2b_n．

点评 本题考查数列的通项，数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．