Question

5．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，某月的产量如下表（单位：辆）：

类别	A	B	C
数量	400	600	a

按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在A，B类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆A类轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从A，B两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抽样比，求和求解a即可．
（Ⅱ）根据分层抽样的抽样比得到m，样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A₁，A₂，B₁，B₂，B₃，则从中任取2辆的所有基本事件．其中至少有1辆A类轿车的基本事件，然后求出从中任取2辆，至少有1辆A类轿车的概率．
（Ⅲ）求出平均数与方程，比较即可推出结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，$\frac{50}{400+600+a}×400=10$，所以a=1000--------------------（3分）
（Ⅱ）根据分层抽样可得，$\frac{400}{1000}=\frac{m}{5}$，解得m=2-------------------（4分）
∴样本中有A类2辆B类3辆，分别记作A₁，A₂，B₁，B₂，B₃，则从中任取2辆的所有基本事件为（A₁，A₂） （A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃） （A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）共10个，
其中至少有1辆A类轿车的基本事件有7个：（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃） （A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），所以从中任取2辆，至少有1辆A类轿车的概率为$\frac{7}{10}$．----------------------（6分）
（Ⅲ）$\overline{x_A}=\frac{86+83+92+91}{4}=\frac{352}{4}=88$，$\overline{x_B}=\frac{85+94+92+93}{4}=\frac{364}{4}=91$--------（8分）
∴$s_A^2=\frac{4+25+16+9}{4}=13.5$，$s_B^2=\frac{36+9+1+4}{4}=12.5$----------------------（10分）
∵12.5＜13.5，∴B类轿车成绩较稳定．----------------------（12分）

点评 不考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，考查计算能力．