题目内容
7.设函数f(x)=x2lnx,$g(x)=\frac{x}{e^x}$,若存在x1∈[e,e2],x2∈[1,2],使得e3(k2-2)g(x2)≥kf(x1)成立(其中e为自然对数的底数),则正实数k的取值范围是( )A. | k≥2 | B. | 0<k≤2 | C. | $k≥\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$ | D. | $0<k≤\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$ |
分析 求出f(x)的导数,求得f(x)在[e,e2]的最小值,求出g(x)的导数,判断g(x)在[1,2]的单调性,求得最大值,由存在性的结论可得e3(k2-2)g(x2)max≥kf(x1)min,解不等式即可得到所求范围.
解答 解:f(x)=x2lnx的导数为f′(x)=2xlnx+x,
当x∈[e,e2],f′(x)>0,f(x)在[e,e2]递增,
即有f(e)为最小值,且为e2;
$g(x)=\frac{x}{e^x}$的导数为g′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$,
当x∈[1,2],g′(x)≤0,g(x)在[1,2]递减,
即有g(1)取得最大值,且为$\frac{1}{e}$.
由题意可得e3(k2-2)g(x2)max≥kf(x1)min,
即为e2(k2-2)≥ke2,
由k2-k-2≥0,
结合k>0,可得k≥2.
故选A.
点评 本题考查导数的运用:求最值,主要考查函数的单调性的运用,注意不等式存在性问题转化为求函数的最值,考查运算能力,属于中档题和易错题.
练习册系列答案
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A. | $-\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设点P在线段CC1上,直线BP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是( )
A. | [$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$] | B. | [$\frac{\sqrt{6}}{3}$,1] | C. | [$\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{2\sqrt{2}}{3}$] | D. | [$\frac{2\sqrt{2}}{2}$,1] |