题目内容

7.设函数f(x)=x2lnx,$g(x)=\frac{x}{e^x}$,若存在x1∈[e,e2],x2∈[1,2],使得e3(k2-2)g(x2)≥kf(x1)成立(其中e为自然对数的底数),则正实数k的取值范围是(  )
A.k≥2B.0<k≤2C.$k≥\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$D.$0<k≤\frac{{{e^3}+\sqrt{{e^6}+8}}}{2}$

分析 求出f(x)的导数,求得f(x)在[e,e2]的最小值,求出g(x)的导数,判断g(x)在[1,2]的单调性,求得最大值,由存在性的结论可得e3(k2-2)g(x2max≥kf(x1min,解不等式即可得到所求范围.

解答 解:f(x)=x2lnx的导数为f′(x)=2xlnx+x,
当x∈[e,e2],f′(x)>0,f(x)在[e,e2]递增,
即有f(e)为最小值,且为e2
$g(x)=\frac{x}{e^x}$的导数为g′(x)=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$,
当x∈[1,2],g′(x)≤0,g(x)在[1,2]递减,
即有g(1)取得最大值,且为$\frac{1}{e}$.
由题意可得e3(k2-2)g(x2max≥kf(x1min
即为e2(k2-2)≥ke2
由k2-k-2≥0,
结合k>0,可得k≥2.
故选A.

点评 本题考查导数的运用:求最值,主要考查函数的单调性的运用,注意不等式存在性问题转化为求函数的最值,考查运算能力,属于中档题和易错题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网