Question

（本题12分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面上的射影恰好是的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）证明：设的中点为.
在斜三棱柱中，点在底面上的射影恰好是的中点,
平面ABC.        ……………………1分
平面，
.              ……………………2分
，
∴.
，
∴平面.      ……………………3分
平面，
平面平面.                         ………………4分
解法一：（Ⅱ）连接，平面，
是直线在平面上的射影.         ………………5分
，四边形是菱形.
.                  .                   ……………6分
（Ⅲ）过点作交于点，连接
，
平面.   .
是二面角的平面角.            …………9分
设，则，
.
. 
.   .
平面，平面，..
在中，可求.∵，∴.
∴.
.        ……………………………………10分
.
∴二面角的大小为.            ………………12分
解法二：（Ⅱ）因为点在底面上的射影是的中点，设的中点为，则平面ABC.以为原点，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由题意可知，.设，由，得
.
又.
.
.                                             ……………………6分
（Ⅲ）设平面的法向量为.
则
∴
.
设平面的法向量为.则
∴
.                          
.                     ……………………10分
二面角的大小为.       ………………………………12分