题目内容

8.若n为正整数,试比较3•2n-1与n2+3的大小,分别取n=1,2,3,4,5加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.

分析 通过比较n=1,2,3,4,5时,两个代数式的大小,猜想结论,利用数学归纳法证明即可.

解答 (理科)解:当n=1时,3•2n-1<n2+3;
当n=2时,3•2n-1<n2+3;
当n=3时,3•2n-1=n2+3;
当n=4时,3•2n-1>n2+3;
当n=5时,3•2n-1>n2+3;…5'
猜想:当n≥4时,3•2n-1>n2+3…7'
证明:当n=4时,3•2n-1>n2+3成立;
假设当n=k(k≥4)时,3•2k-1>k2+3成立,
则n=k+1时,左式=3•2k=2•3•2k-1>2(k2+3),右式=(k+1)2+3,
因为2(k2+3)-[(k+1)2+3]=k2-2k+2=(k-1)2+1>0,
所以,左式>右式,即当n=k+1时,不等式也成立.
综上所述:当n≥4时,3•2n-1>n2+3…14'

点评 本题库存数学归纳法的应用,证明步骤的应用,归纳推理,考查计算能力.

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