题目内容

11.给定可导函数y=f(x),如果存在x0∈[a,b],使得f(x0)=$\frac{{∫}_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$成立,则称x0为函数f(x)在区间[a,b]上的“平均值点”.
(1)函数f(x)=x3-3x在区间[-2,2]上的平均值点为$±\sqrt{3}$,0;
(2)如果函数g(x)=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx在区间[-1,1]上有两个“平均值点”,则实数m的取值范围是[$-\frac{π}{4},\frac{π}{4}$].

分析 (1)首先由新定义求出f(x0),然后代入解析式求出x0
(2)求出g(x)=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g(x)dx}{2}$,然后解使方程g(x)=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g(x)dx}{2}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx有两个解的m范围.

解答 解:(1)因为f(x0)=$\frac{{∫}_{a}^{b}f(x)dx}{b-a}$=$\frac{{∫}_{-2}^{2}({x}^{3}-3x)dx}{4}=\frac{1}{4}×(\frac{1}{4}{x}^{4}-\frac{3}{2}{x}^{2}){|}_{-2}^{2}$=0,
而f(x0)=0为x03-3x0=0解得x0=$±\sqrt{3}$,0;
(2)如果函数g(x)=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx在区间[-1,1]上有两个“平均值点”,即g(x)=$\frac{{∫}_{-1}^{1}g(x)dx}{2}$的x值有两个,$\frac{{∫}_{-1}^{1}(\sqrt{1-{x}^{2}}+mx)dx}{2}$=$\frac{1}{2}×(\frac{π}{2}+\frac{m}{2}{x}^{2}{|}_{-1}^{1}$=$\frac{π}{4}$,
即$\sqrt{1-{x}^{2}}$+mx=$\frac{π}{4}$由两个解,所以m的取值范围为[$-\frac{π}{4},\frac{π}{4}$].
故答案为:$±\sqrt{3}$,0;[$-\frac{π}{4},\frac{π}{4}$].

点评 本题考查新定义的理解和运用,主要考查定积分的运算和由方程解的个数求参数范围,属于中档题

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