已知椭圆C1:$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.且经过点(1.$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$).抛物线C2:x2=2py的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．(Ⅰ)过F的直线与抛物线C2交于M.N两点.过M.N分别作抛物线C2的切线l1.l2.求直线l1.l2的交点Q的轨迹方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C₁：$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，且经过点（1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C₁的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C₂交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C₂的切线l₁，l₂，求直线l₁，l₂的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x²+y²=5上任意一点P作椭圆C₁的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．

分析（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，以及$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，设椭圆方程为$\frac{y^2}{{3{c^2}}}+\frac{x^2}{{2{c^2}}}=1$，将点$（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$的坐标代入得c，然后求解椭圆方程，求出抛物线方程，设直线MN：y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入抛物线方程得x²-4kx-4=0，利用韦达定理结合函数的导数求解直线的斜率，直线方程，求出点Q的横坐标是$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，点Q的纵坐标，然后求解点Q的轨迹方程．
（Ⅱ）①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，求解∠APB的大小为定值．
②当两条切线的斜率都存在时，即$x≠±\sqrt{2}$时，设P（x₀，y₀），切线的斜率为k，则切线方程与椭圆方程联立，利用△=0，切线PA，PB的斜率k₁，k₂是上述方程的两个实根，通过${k_1}{k_2}=-\frac{y_0^2-3}{2-x_0^2}$，求解∠APB的大小为定值$\frac{π}{2}$．

解答解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即$a=\sqrt{3}c$，则$b=\sqrt{2}c$，
椭圆方程为$\frac{y^2}{{3{c^2}}}+\frac{x^2}{{2{c^2}}}=1$，将点$（1，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$的坐标代入得c²=1，
故所求的椭圆方程为$\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{2}=1$焦点坐标为（0，±1），
故抛物线方程为x²=4y…（2分）
设直线MN：y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入抛物线方程得x²-4kx-4=0，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由于$y=\frac{1}{4}{x^2}$，所以$y'=\frac{1}{2}x$，故直线l₁的斜率为$\frac{1}{2}{x_1}$，l₁的方程为$y-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（x-{x_1}）$，即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2$，
同理l₂的方程为$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$，
令$\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$，即$（{x_1}-{x_2}）x=\frac{1}{2}（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）$，显然x₁≠x₂，
故$x=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，即点Q的横坐标是$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）$，
点Q的纵坐标是$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{4}{x_1}（{x_1}+{x_2}）-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{4}{x_1}{x_2}=-1$，即点Q（2k，-1），
故点Q的轨迹方程是y=-1…（4分）
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，
则此时P点横坐标为$\sqrt{2}$，代入圆的方程得P点的纵坐标为$\sqrt{3}$，
此时两条切线方程分别为$x=\sqrt{2}，y=\sqrt{3}$，此时$∠APB=\frac{π}{2}$，
若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是$\frac{π}{2}$…（5分）
②当两条切线的斜率都存在时，即$x≠±\sqrt{2}$时，设P（x₀，y₀），切线的斜率为k，
则切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
与椭圆方程联立消元得$（3+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-6=0$…（6分）
由于直线y-y₀=k（x-x₀）是椭圆的切线，
故$△={[4k（{y_0}-k{x_0}）]^2}-4（3+2{k^2}）[2{（k{x_0}-{y_0}）^2}-6]=0$，
整理得$（2-x_0^2）{k^2}+2{x_0}{y_0}k-（y_0^2-3）=0$…（8分）
切线PA，PB的斜率k₁，k₂是上述方程的两个实根，故${k_1}{k_2}=-\frac{y_0^2-3}{2-x_0^2}$，…（10分）
点P在圆x²+y²=5上，故$y_0^2-3=2-x_0^2$，所以k₁k₂=-1，所以$∠APB=\frac{π}{2}$．
综上可知：∠APB的大小为定值$\frac{π}{2}$，得证…（12分）