Question

16．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个顶点到一条渐近线的距离为$\frac{a}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由已知中双曲线的顶点到其渐近线的距离等于$\frac{a}{2}$，通过渐近线、离心率等几何元素，推出a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为$\frac{a}{2}$，渐近线方程不妨为：bx+ay=0，顶点（a，0）
∴$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{a}{2}$，
∴3b²=a²，可得3c²=4a²
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系求离心率．