题目内容

2.若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意的正整数n,都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期为T的周期数列.已知数列{an}满足:a1=m (m>a ),an+1=\left\{\begin{array}{l}{a_n}-1,{a_n}>1\\ \frac{1}{a_n},0<{a_n}≤1\end{array}\left\{\begin{array}{l}{a_n}-1,{a_n}>1\\ \frac{1}{a_n},0<{a_n}≤1\end{array},现给出以下三个命题:
①若 m=25,则a5=2;
②若 a3=3,则m可以取3个不同的值;
③若 m=3,则数列{an}是周期为5的周期数列.
其中正确命题的序号是①②.

分析 ①由给出的递推式,把m=25及代入递推式验证,可以判断
②将a3=3代入可得到不同的m的值.
③将m=3代入验证可求得周期.

解答 解:对于①由an+1={an1an11an0an1,且a1=m=25<1,
所以,a2=52>1,a3=321a4=121,∴a5=2 故①正确;
对于②由a3=3,若a3=a2-1=3,则a2=4,若a1-1=4,则a1=5=m.
a3=1a2=3,则a2=13
若a1>1a1=43,若0<a1≤1则a1=3,不合题意.
所以,a3=2时,m即a1的不同取值由3个.
故②正确;
若a1=m=3>1,则a2=311,所a3=131=3+1>1,a4=3
故在a1=3时,数列{an}是周期为3的周期数列,③错;
故答案为:①②

点评 本题主要考查新定义题目,属于创新性题目,但又让学生能有较大的数列的知识应用空间,是较好的题目

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