题目内容

2.若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意的正整数n,都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期为T的周期数列.已知数列{an}满足:a1=m (m>a ),an+1=$\left\{\begin{array}{l}{a_n}-1,{a_n}>1\\ \frac{1}{a_n},0<{a_n}≤1\end{array}$,现给出以下三个命题:
①若 m=$\frac{2}{5}$,则a5=2;
②若 a3=3,则m可以取3个不同的值;
③若 m=$\sqrt{3}$,则数列{an}是周期为5的周期数列.
其中正确命题的序号是①②.

分析 ①由给出的递推式,把m=$\frac{2}{5}$及代入递推式验证,可以判断
②将a3=3代入可得到不同的m的值.
③将m=$\sqrt{3}$代入验证可求得周期.

解答 解:对于①由an+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1}&{{a}_{n}>1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}}&{0<{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$,且a1=m=$\frac{2}{5}$<1,
所以,${a}_{2}=\frac{5}{2}$>1,${a}_{3}=\frac{3}{2}>1$,${a}_{4}=\frac{1}{2}<1$,∴a5=2 故①正确;
对于②由a3=3,若a3=a2-1=3,则a2=4,若a1-1=4,则a1=5=m.
若${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{2}}=3$,则${a}_{2}=\frac{1}{3}$.
若a1>1a1=$\frac{4}{3}$,若0<a1≤1则a1=3,不合题意.
所以,a3=2时,m即a1的不同取值由3个.
故②正确;
若a1=m=$\sqrt{3}$>1,则a2=$\sqrt{3}-1<1$,所a3=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$>1,a4=$\sqrt{3}$
故在a1=$\sqrt{3}$时,数列{an}是周期为3的周期数列,③错;
故答案为:①②

点评 本题主要考查新定义题目,属于创新性题目,但又让学生能有较大的数列的知识应用空间,是较好的题目

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