Question

13．某校把一块形状为正三角形的边角地ABC开辟为生态园，如图所示，其中AB=2a，DE把三角形分成面积相等的两个部分，D在线段AB上，E在线段AC上．
（1）设AD=x，ED=y，求用x表示y的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）如果DE是灌溉水渠的位置，为了省钱希望它最短，那么DE的位置应该在哪里，如果DE是参观路线，却希望它最长，那么DE的位置又应该在哪里？

Answer 1

分析 （1）先根据S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系．
（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DE∥BC，且DE=$\sqrt{2}$a．进而可得函数f（x）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．

解答 解：（1）因为DE均分三角形ABC的面积，
所以xAE=$\frac{1}{2}•（2a）^{2}$，即AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$．
在△ADE中，由余弦定理得y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$．
因为0≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以a≤x≤2a．
故y关于x的函数关系式为y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$（a≤x≤2a）．
（2）令t=x²，则a²≤t≤4a²，且y=$\sqrt{t+\frac{4{a}^{4}}{t}-2{a}^{2}}$．
设f（t）=t+$\frac{4{a}^{4}}{t}$（t∈[a²，4a²]）．
若a²≤t₁＜t₂≤2a²，则f（t₁）-f（t₂）=$\frac{（{t}_{1}-{t}_{2}）（{t}_{1}{t}_{2}-4{a}^{4}）}{{t}_{1}{t}_{2}}$＞0
所以f（t）在[a²，2a²]上是减函数．同理可得f（t）在[2a²，4a²]上是增函数．
于是当t=2a²即x=$\sqrt{2}$a时，y_min=$\sqrt{2}$a，此时DE∥BC，且AD=$\sqrt{2}$a．
当t=a²或t=4a²即x=a或2a时，y_max=$\sqrt{3}$a，此时DE为AB或AC上的中线．
故当取AD=$\sqrt{2}$a且DE∥BC时，DE最短；当D与B重合且E为AC中点，或E与C重合且D为AB中点时，DE最长

点评 本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调型求最值，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于综合题．