题目内容
13.已知命题p:实数t满足t2-5at+4a2<0(其中a≠0),命题q:方程$\frac{{x}^{2}}{t-2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}=1$表示双曲线(1)若a=1,且p∧q为真命题,求实数t的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
分析 (1)若a=1,分别求出p,q成立的等价条件,利用p∧q为真命题,即可求实数t的取值范围;
(2)利用p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解答 解:(1)若a=1,则不等式为t2-5t+4<0,即1<t<4,
p:t∈(1,4),
若方程$\frac{{x}^{2}}{t-2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}=1$=1表示双曲线,
则(t-2)(t-6)<0,即2<t<6.
q:t∈(2,6),
若p∧q为真命题,则p,q都为真命题,
即$\left\{\begin{array}{l}{1<t<4}\\{2<t<6}\end{array}\right.$,解得2<t<4,
则实数t的取值范围{t|2<t<4}.
(2)若t2-5at+4a2<0(其中a≠0),
则(t-a)(t-4a)<0,
若a>0,则得a<t<4a,
若a<0,则4a<t<a,
∵q:t∈(2,6),
∴若p是q的必要不充分条件,
则当a>0时,$\left\{\begin{array}{l}{4a≥6}\\{a≤2}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{2}}\\{a≤2}\end{array}\right.$,解得$\frac{3}{2}$≤a≤2,
若a<0,则不满足条件.
即实数a的取值范围是[$\frac{3}{2}$,2].
点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,
练习册系列答案
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