题目内容

1.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)的导函数为f′(x),关于x的方程f(x)=f′(x)有两个相等 实根,则$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$的最大值为(  )
A.2$\sqrt{2}$-2B.2$\sqrt{2}$+2C.$\frac{1}{2}$D.1

分析 由f(x)=f′(x)化为:x2+(b-2)x+c-b=0,由于关于x的方程f(x)=f′(x)有两个相等实数根,可得△=0,可得$c=\frac{{b}^{2}+4}{4}$,代入$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$,再利用基本不等式的性质即可得出.

解答 解:f′(x)=2x+b,f(x)=f′(x)化为:x2+(b-2)x+c-b=0,
∵关于x的方程f(x)=f′(x)有两个相等实数根,
∴△=(b-2)2-4(c-b)=0,
化为$c=\frac{{b}^{2}+4}{4}$,
∴$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{1+\frac{({b}^{2}+4)^{2}}{16}}$=$\frac{16}{{b}^{2}+\frac{32}{{b}^{2}}+8}$≤$\frac{16}{2\sqrt{{b}^{2}•\frac{32}{{b}^{2}}}+8}$=2$\sqrt{2}$-2,当且仅当b2=4$\sqrt{2}$,c=$\sqrt{2}$+1时取等号.
∴$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$的最大值为$2\sqrt{2}$-2.
故选:A.

点评 本题考查了导数的运算法则、一元二次方程有实数根与判别式的关系、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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