Question

9．定于在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈（0，1]}\\{-lo{g}_{2}x，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，若x∈（-2，0]时，f（x）≤k有解，则实数k的取值范围（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． [-$\frac{1}{2}，+∞$）
• C． [-$\frac{1}{2}，-\frac{1}{8}$]
• D． [-$\frac{1}{8}，+∞$）

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈（0，1]}\\{-lo{g}_{2}x，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，求出x∈（-2，0]时，函数的最小值，可得实数k的取值范围．

解答 解：当x∈（0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈（0，1]}\\{-lo{g}_{2}x，x∈（1，2]}\end{array}\right.$，
故当x∈（0，2]时，函数的值域为：[-1，0]，
又由函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
∴x∈（-2，0]时，f（x）的值域为：[-$\frac{1}{2}$，0]，
若x∈（-2，0]时，f（x）≤k有解，
则k≥$-\frac{1}{2}$，
即实数k的取值范围是[-$\frac{1}{2}，+∞$），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是分段函数，存在性问题，解答的关键是将存在性问题，转化为最值问题．