题目内容
【题目】某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）．经统计，高度均在区间[20，50]内，将其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗．
（1）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？
（2）用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记为X，求X的分布列和数学期望．
甲地区 | 乙地区 | 合计 | |
优质树苗 | 5 | ||
非优质树苗 | 25 | ||
合计 |
附：K2＝
，其中n＝a+b+c+d
P（K2≥k0） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关；（2）分布列见解析，EX＝1
【解析】
(1)补全列联表再求解k2对比表中的数据判断即可.
(2)易得从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为
,再利用二项分布求解即可.
（1）由题意知5a+0.04×2+0.07＝
,解得a＝0.01．
样本中优质树苗的个数为100×（0.04+0.01）×5＝25,
所填表格为：
甲地区 | 乙地区 | 合计 | |
优质树苗 | 5 | 20 | 25 |
非优质树苗 | 50 | 25 | 75 |
合计 | 55 | 45 | 100 |
k2＝
≈16.5＞10.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．
（2）容量为100的样本中有25颗优质树苗,故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,
所以X～B（4,）,P（X＝k）＝
,k＝0,1,2,3,4,
所以X 的分布列为：
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
|
|
EX＝np＝4×＝1．
