题目内容
【题目】在棱长为2的正方体中,点
是对角线
上的点(点
与
、
不重合),则下列结论正确的个数为( )
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得
平面
;
③若的面积为
,则
;
④若、
分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理,可判定①正确;由面面平行的性质定理,可得判定②正确;由三角形的面积公式,可求得的面积为
的范围,可判定③错误;由三角形的面积公式,得到
的范围,可判定④正确.
连接,设平面
与对角线
交于
,
由,可得
平面
,即
平面
,
所以存在点,使得平面
平面
,所以①正确;
由,
利用平面与平面平行的判定,可得证得平面平面
,
设平面与
交于
,可得
平面
,所以②正确;
连接交
于点
,过
点作
,
在正方体中,
平面
,所以
,
所以为异面直线
与
的公垂线,
根据,所以
,即
,
所以的最小面积为
.
所以若的面积为
,则
,所以③不正确;
再点从
的中点向着点
运动的过程中,
从
减少趋向于0,即
,
从
增大到趋向于
,即
,在此过程中,必存在某个点
使得
,
所以④是正确的.
综上可得①②④是正确的.
故选:C.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况,在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本,测量树苗高度(单位:cm).经统计,高度均在区间[20,50]内,将其按[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图,其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗.
(1)已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区,部分数据如下2×2列联表所示,将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关?
(2)用样本估计总体的方式,从这批树苗中随机抽取4棵,期中优质树苗的棵数记为X,求X的分布列和数学期望.
甲地区 | 乙地区 | 合计 | |
优质树苗 | 5 | ||
非优质树苗 | 25 | ||
合计 |
附:K2=,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |