题目内容

20.函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)过定点A,若点A在直线mx+ny=-2(m>0,n>0)上,则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为(  )
A.3B.2$\sqrt{2}$C.$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$

分析 函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)过定点A(-1,-2),可得m+2n=2.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

解答 解:函数y=ax+1-3(a>0,a≠1)过定点A(-1,-2),
∵点A在直线mx+ny=-2(m>0,n>0)上,∴-m-2n=-2,即m+2n=2.
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}(m+2n)(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})$=$\frac{1}{2}(3+\frac{m}{n}+\frac{2n}{m})$$≥\frac{1}{2}(3+2\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{2n}{m}})$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.
当且仅当$\frac{m}{n}$=$\frac{2n}{m}$时,即m=$\sqrt{2}$n时,不等式成立.
故选:C.

点评 本题考查了指数函数的性质、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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