题目内容
15．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，且|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{3}$，那么$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=3．分析 由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．
解答 解：由已知得到如图
因为△ABC是等边三角形，有一点D满足$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，且|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{3}$，
所以EF∥CD，并且EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以BE=$\sqrt{3}$，AC=2，
所以AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{7}$，
$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=|$\overrightarrow{DA}$||$\overrightarrow{DC}$|cosD=$\sqrt{7}×\sqrt{3}×\frac{CD}{AD}$=$\sqrt{7}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=3；
故答案为：3．
点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．
练习册系列答案
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| A． | 3 | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$ |