Question

10．已知点$A（1{，_{\;}}\sqrt{2}）$是离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞b＞0）上的一点，斜率为$\sqrt{2}$的直线BC交椭圆于B、C两点，且B、C与A点均不重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）△ABC的面积是否存在着最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求直线AB与直线AC斜率的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC的方程为$y=\sqrt{2}x+m$，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABC的面积的最大值．
（Ⅲ）设直线AB与直线AC的斜率分别为k_AB和k_AC，求出斜率的比值，结合（Ⅱ）求解即可．

解答 （本题14分）
（Ⅰ）解：依题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，{{，}_{\;}}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a^2}=1}\end{array}}\right.$…（2 分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2{，_{\;}}}\\{b=\sqrt{2}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$…（3 分）
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4 分）
（Ⅱ）解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC的方程为$y=\sqrt{2}x+m$，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$
整理，得$4{x^2}+2\sqrt{2}mx+（{m^2}-4）=0$．…（5 分）
由$△={（2\sqrt{2}m）^2}-16（{m^2}-4）=-8{m^2}+64＞0$，
解得$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$．…（6 分）
由根与系数的关系，得：${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$．…（7 分）$|{BC}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_2}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{2}\sqrt{8-{m^2}}$，
设d为点A到直线BC的距离，
则$d=\frac{{|{\sqrt{2}-\sqrt{2}+m}|}}{{\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}|m|$．…（8 分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}$．
∵$\sqrt{{m^2}（8-{m^2}）}$≤$\frac{{{m^2}+（8-{m^2}）}}{2}=4$，当且仅当m=±2时取等号，
∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值$\sqrt{2}$．…（9 分）
（Ⅲ）解：设直线AB与直线AC的斜率分别为k_AB和k_AC，
则${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}$，${k_{AC}}=\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}$，…（10分）
故$\frac{{{k_{AB}}}}{{{k_{AC}}}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{x_2}-1}}{{{y_2}-\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}{x_1}+m-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{x_2}-1}}{{\sqrt{2}{x_2}+m-\sqrt{2}}}$．
∵${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，∴$m=-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）$．
∴$\frac{{{k_{AB}}}}{{{k_{AC}}}}=\frac{{-\sqrt{2}（{x_2}+1）}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{x_2}-1}}{{-\sqrt{2}（{x_1}+1）}}=\frac{x_2^2-1}{x_1^2-1}$．…（12分）
由${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$，
得$x_1^2+x_2^2={（{x_2}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}=\frac{m^2}{2}-\frac{{{m^2}-4}}{2}=2$，…（13分）
∴$x_2^2-1=1-x_1^2=-（x_1^2-1）$．
∴$\frac{{{k_{AB}}}}{{{k_{AC}}}}=\frac{x_2^2-1}{x_1^2-1}=-1$．…（14分）

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．