Question

19．已知抛物线T：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A（x₀，y₀）为T上异于原点的任意一点，点D为x的正半轴上的点，且有|FA|=|FD|，若x₀=3时，D的横坐标为5．
（1）求T的方程；
（2）直线AF交T于另一点B，直线AD交T于另一点C，试求△ABC的面积S关于x₀的函数关系式S=f（x₀），并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）由|FA|=|FD|，若x₀=3时，D的横坐标为5，求出p，即可求T的方程；
（2）设直线AB方程为：x=ty+1，联立抛物线方程，求出|AB|=|AF|+|BF|=（x₀+x₁）+2=${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$+2，再求出C到直线AB：x=ty+1的距离，可得△ABC的面积S关于x₀的函数关系式S=f（x₀），利用基本不等式求其最小值．

解答 解：（1）∵|FA|=|FD|，x₀=3时，D的横坐标为5，
∴3+$\frac{p}{2}$=5-$\frac{p}{2}$，
∴p=2，
∴T的方程是y²=4x；
（2）知F（1，0），设A（x₀，y₀），故D（x₀+2，0），
设直线AB方程为：x=ty+1，联立抛物线方程，得：y²-4ty-4=0，
设B（x₁，y₁），则y₀+y₁=4t，从而x₀x₁=1
|AB|=|AF|+|BF|=（x₀+x₁）+2=${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$+2，
直线AD的方程为y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-x₀），∴x=-$\frac{2}{{y}_{0}}$y+2+x₀，
代入抛物线方程可得${y}^{2}+\frac{8}{{y}_{0}}-8-4{x}_{0}$=0，设C（x₂，y₂），
∴y₀+y₂=-$\frac{8}{{y}_{0}}$，
∴y₂=-${y}_{0}-\frac{8}{{y}_{0}}$，x₂=${x}_{0}+\frac{4}{{x}_{0}}$+4，
∴C到直线AB：x=ty+1的距离d=$\frac{|\frac{4}{{x}_{0}}+{x}_{0}+4+t（{y}_{0}+\frac{8}{{y}_{0}）-1|}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=4（$\sqrt{{x}_{0}}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}$），
∴△ABC的面积S关于x₀的函数关系式S=f（x₀）=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×4（\sqrt{{x}_{0}}+\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}）$（${x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}$+2）≥16，
当且仅当x₀=1时取等号，
∴△ABC的面积S的最小值为16．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．