Question

7．如图，A，A′，B分别是椭圆顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，且AB∥OP，则椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先计算PF₁的长，再利用两直线平行得tan∠POF₁，最后在直角三角形POF₁中，找到a、b、c间的等式，从而求出离心率

解答 解：设F₁（-c，0），将x=-c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$
∴PF₁=$\frac{{b}^{2}}{a}$，OF₁=c
∵AB∥OP，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=$\frac{b}{a}$
∴在直角三角形POF₁中，tan∠POF₁=$\frac{{PF}_{1}}{{OF}_{1}}$=$\frac{{b}^{2}}{ac}$=$\frac{b}{a}$
∴b=c，∴a=$\sqrt{2}$c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，将已知几何条件转化为椭圆特征量a、b、c间的关系，是解决本题的关键．