题目内容
9.已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最大值.
分析 (1)由导数性质求出f(x)=-x2+7x,由点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,求出${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$,由此能求出数列{an}的通项公式.
(2)令an=-2n+8≥0,得n≤4,由此能求出Sn的最大值.
解答 解:(1)∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b,
∵函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,
∴a=-1,b=7,
∴f(x)=-x2+7x,
又∵点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
∴${S}_{n}=-{n}^{2}+7n$,
当n=1时,a1=S1=6,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,
∴an=-2n+8,n∈N*.
(2)令an=-2n+8≥0,得n≤4,
∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值${S}_{3}={S}_{4}=-{3}^{2}+7×3$=12.
点评 本题考查数列的通项公式和数列前n项和的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
练习册系列答案
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