Question

16．已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂：ρ=$\frac{1}{sin（θ+45°）}$；
（1）曲线C₁，C₂是否有公共点，为什么？
（2）将曲线C₁向右移动m个单位，使得C₁与C₂是交于A，B两点，|AB|=$\sqrt{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把曲线C₁的参数方程、曲线C₂的极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线l的距离d与半径r的关系，
判断曲线C₁，C₂的公共点数；
（2）曲线C₁向右移动m个单位，得到圆的方程，由圆心到直线的距离，求出m的值．

解答 解：（1）把曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）
化为普通方程是x²+y²=1；
又曲线C₂的极坐标方程ρ=$\frac{1}{sin（θ+45°）}$可化为
ρ•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=1，
化为普通方程是$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，
化简得x+y-$\sqrt{2}$=0；
所以圆心O（0，0）到直线l的距离为
d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=1=r，
∴直线l与圆O相切，即曲线C₁，C₂有一个公共点；
（2）将曲线C₁向右移动m个单位，得圆的方程为
（x+m）²+y²=1
C₁与C₂是交于A，B两点，|AB|=$\sqrt{2}$，
∴圆心（-m，0）到直线x+y-$\sqrt{2}$=0的距离为
d=$\frac{|-m-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}{-（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$，
解得m=-$\sqrt{2}$±1．

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是基础题目．