Question

11．过抛物线y²=2x焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=5
（1）求线段AB中点的横坐标；
（2）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），代入抛物线y²=2x，利用x₁+x₂=4，求出k，即可求直线AB的方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵F是抛物线y²=2x的焦点F（$\frac{1}{2}$，0），准线方程x=-$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=5
解得x₁+x₂=4，
∴线段AB的中点横坐标为2；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$），
代入抛物线y²=2x，可得k²x²-（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}}{4}$=0
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=4，
∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴直线AB的方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$（x-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．