题目内容
【题目】已知二次函数,有两个零点为
和
.
(1)求、
的值;
(2)证明:;
(3)用单调性定义证明函数在区间
上是增函数;
(4)求在区间
上的最小值
.
【答案】(1),
;(2)证明见解析;(3)证明见解析;(4)
.
【解析】
(1)利用韦达定理可得出关于实数、
的方程组,即可求出这两个未知数的值;
(2)直接计算和f1x,可证明出
;
(3)任取,作差
,因式分解后判断差值的符号,即可证明出函数
在区间
上是增函数;
(4)分和
两种情况讨论,分析函数
在区间
上的单调性,即可得出函数
在区间
上的最小值
的表达式.
(1)由韦达定理得,解得
;
(2)由(1)知,
,
,
因此,;
(3)任取,则
,
,
,
,
,即
,
因此,函数在区间
上是增函数;
(4)当时,函数
在区间
上为减函数,此时
;
当时,函数
在区间
上减函数,在区间
上为增函数,
此时.
综上所述,.
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