题目内容
【题目】已知函数.
(1)求证:是
上的奇函数;
(2)求的值;
(3)求证:在
上单调递增,在
上单调递减;
(4)求在
上的最大值和最小值;
(5)直接写出一个正整数,满足
.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析;(4)最大值
,最小值
;(5)答案不唯一,具体见解析.
【解析】
(1)利用奇偶性的定义证明即可;
(2)代值计算即可得出的值;
(3)任取,作差
,通分、因式分解后分
和
两种情况讨论
的符号,即可证明出结论;
(4)利用(3)中的结论可求出函数在区间
上的最大值和最小值;
(5)可取满足的任何一个整数
,利用函数
的单调性和不等式的性质可推导出
成立.
(1)函数的定义域为
,定义域关于原点对称,
且,因此,函数
是
上的奇函数;
(2);
(3)任取,
.
当时,
,
,
,则
;
当时,
,
,
,则
.
因此,函数在
上单调递增,在
上单调递减;
(4)由于函数在
上单调递增,在
上单调递减,
当时,函数
取最大值,即
;
当时,
,
所以,当时,函数
取最小值,即
.
综上所述,函数在
上的最大值为
,最小值为
;
(5)由于函数在
上单调递减,
当时,
,
所以,满足任何一个整数
均满足不等式
.
可取,满足条件.
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