题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,四边形
是边长为2的正方形,
,
为
的中点,点
在
上,
平面
,
在
的延长线上,且
.
(1)证明:平面
.
(2)过点作
的平行线,与直线
相交于点
,点
为
的中点,求
到平面
的距离.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点为
,连接
,过
作
交
于
,连接
,通过证明四边形
是平行四边形,得
,证得线面平行;
(2)考虑三棱锥的体积,利用等体积法求出
到平面
的距离为
,
到平面
的距离是
到平面
的距离的一半,即可得解.
(1)证明:记的中点为
,连接
,过
作
交
于
,连接
,
则,且
.
因为平面
,所以
.
在中,
,
,易求
,
.
又,则
.
因为,所以
.
因为,且
,所以四边形
是平行四边形,
所以,又
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)因为平面
,所以
,而
是正方形,所以
.
因为与
显然是相交直线,所以
平面
,
所以平面平面
.
记的中点为
,连接
,
,则
平面
,且
.
因为点为
的中点,所以
,
,
,
在中,
,
,
,所以
.
,所以
,
而三棱锥的体积
.
记到平面
的距离为
,
则,所以
.
因为到平面
的距离是
到平面
的距离的一半,
所以到平面
的距离为
.
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