题目内容
【题目】如图,已知△中,∠
=90°,
,且
=1,
=2,△
绕
旋转至
,使点
与点
之间的距离
=
.
(1)求证:⊥平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)求异面直线与
所成的角的余弦值.
【答案】(1)见详解;(2)60°;(3).
【解析】
(1)∵CD⊥AB,∴CD⊥A′D,CD⊥DB,∴CD⊥平面A′BD,
∴CD⊥BA′.又在△A′DB中,A′D=1,DB=2,A′B=
,∴∠BA′D=90°,
即BA′⊥A′D,∴BA′⊥平面A′CD.
(2)∵CD⊥DB,CD⊥A′D,∴∠BDA′是二面角
A′—CD—B的平面角.又Rt△A′BD中,A′D=1,BD=2,
∴∠A′DB=60°,即 二面角A′—CD—B为60°.
(3)过A′作A′E∥BD,在平面A′BD中作DE⊥A′E于E,
连CE,则∠CA′E为A′C与BD所成角.
∵CD⊥平面A′BD,DE⊥A′E,∴A′E⊥CE.
∵EA′∥AB,∠A′DB=60°,∴∠DA′E=60°,又A′D=1,∠DEA′=90°,∴A′E=
又∵在Rt△ACB中,AC==
∴A′C=AC=
∴cos∠CA′E==
=
,即A′C与BD所成角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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